Question

8．如圖，過圓O外一點P作圓O的切線PA，切點為A，連接OP與圓O交于點C，過點C作圓O作AP的垂線，垂足為D，若PA=2$\sqrt{5}$，PC：PO=1：3，求CD的長．

Answer 1

分析 連接OA，延長PO與圓相交于點B，由PA與⊙O相切于點A，可得OA⊥AP，又CD⊥AP，則CD∥OA．可得$\frac{CD}{OA}$=$\frac{PC}{PO}$=$\frac{1}{3}$．設(shè)PC=x，則OC=2x=OB，由切割線定理可得：PA²=PC•PB，解得x，即可得出．

解答 解：連接OA，延長PO與圓相交于點B，
∵PA與⊙O相切于點A，∴OA⊥AP，
又CD⊥AP，則CD∥OA．
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{PC}{PO}$=$\frac{1}{3}$．
設(shè)PC=x，則OC=2x=OB，
由切割線定理可得：PA²=PC•PB，
∴x•5x=$（2\sqrt{5}）^{2}$，解得x=2．
∴CD=$\frac{1}{3}OA$=$\frac{1}{3}×4$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了切割線定理、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．