Question

2．某企業(yè)有甲乙兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按規(guī)定該產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[45，75）的為優(yōu)質(zhì)品，從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中個(gè)隨機(jī)抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，結(jié)果如表：

分組	[25，35）	[35，45）	[4，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
甲廠頻數(shù)	10	40	115	165	120	45	5
乙廠頻數(shù)	5	60	110	160	90	70	5

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為：“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量有差異”？
（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)$\overline x$（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（3）經(jīng)計(jì)算，甲分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s²=142，乙分廠的500件差評(píng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s²=162，可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline x$，σ²近似為樣本方差s²，由優(yōu)質(zhì)品率較高的廠的抽樣數(shù)據(jù)，能夠認(rèn)為該分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品至少占全部產(chǎn)品的18%？
附注：
參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{140}$≈11.92，$\sqrt{162}$≈12.73
參考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（μ-2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974．

P（k2≥k）	0.05	0.01	0.001
h	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論；
（2）計(jì)算甲廠、乙廠優(yōu)秀率，得出甲廠優(yōu)秀品率高，計(jì)算甲廠的平均值；
（3）根據(jù)（2）知甲廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X～N（60，142），計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值即可．

解答 解：（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，如下；

	甲　廠	乙　廠	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)品	400	360	760
非優(yōu)質(zhì)品	100	140	240
合計(jì)	500	500	1000

計(jì)算K²=$\frac{1000{×（400×140-360×100）}^{2}}{760×240×500×500}$≈8.772＞6.635，
對(duì)照臨界值表得出，有99%的把握認(rèn)為：“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量有差異”；
（2）計(jì)算甲廠優(yōu)秀率為$\frac{400}{500}$=0.8，乙廠優(yōu)秀率為$\frac{360}{500}$=0.72
所以甲廠的優(yōu)秀品率高，
計(jì)算甲廠數(shù)據(jù)的平均值為：
$\overline{x}$=$\frac{1}{500}$×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）
=60，
（3）根據(jù)（2）知，μ=60，σ²=142，且甲廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布X～N（60，142），
又σ=$\sqrt{142}$≈11.92，則P（60-11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，
P（X＞71.92）=$\frac{1-P（48.08＜X＜71.92）}{2}$=$\frac{1-0.6826}{2}$=0.1587＜0.18，
故不能夠認(rèn)為該分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品至少占全部產(chǎn)品的18%．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力．