Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，b2+c2=a2+

3

bc，若

AB

•

BC

＜0，則cosB+sinC的取值范圍是

（

3

2

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知b＞a，b＞c且B為銳角，從而可求得cosB+sinC的取值范圍．

解答：解：∵2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，
∴b＞a，b＞c；
∴b為△ABC中的最大邊；
又

AB

•

BC

＜0，
∴cos（π-B）＜0，即cosB＞0，
∴0＜B＜

π

2

，又b為△ABC中的最大邊，
∴

π

3

＜B＜

π

2

，①
∵b²+c²=a²+

3

bc，及a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

3

2

，
∴A=

π

6

．
∴B+C=π-

π

6

=

5π

6

．
∴cosB+sinC
=cosB+sin（

5π

6

-B）
=cosB+sin

5π

6

cosB-cos

5π

6

sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB
=

3

sin（B+

π

3

），
∵

π

3

＜B＜

π

2

，
∴

2π

3

＜B+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（B+

π

3

）＜

3

2

．
∴

3

2

＜

3

sin（B+

π

3

）＜

3

2

．
∴cosB+sinC的取值范圍為（

3

2

，

3

2

）．
故答案為：（

3

2

，

3

2

）．

點評：本題考查余弦定理，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查平面向量數(shù)量積的運算，考查正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于難題．