【題目】已知橢圓:
的短軸長為
,右焦點為
,點
是橢圓
上異于左、右頂點
的一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線
交于點
,線段
的中點為
,證明:點
關于直線
的對稱點在直線
上.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)由短軸長為,得
,結合離心率及
可得橢圓的方程;
(Ⅱ)“點關于直線
的對稱點在直線
上”等價于“
平分
”,設出直線
的方程為
,可解出
,
的坐標,聯(lián)立直線與橢圓的方程可得
點坐標,分為當
軸時,即可求得
的角平分線所在的直線方程,可得證,當
時,利用點到直線的距離可求出點
到直線
的距離
,即可得結果.
試題解析:解:(Ⅰ)由題意得 解得
, 所以橢圓
的方程為
.
(Ⅱ)“點關于直線
的對稱點在直線
上”等價于“
平分
”.
設直線的方程為
,則
.
設點,由
得
,得
① 當軸時,
,此時
.所以
.
此時,點在
的角平分線所在的直線
或
,即
平分
.
② 當時,直線
的斜率為
,所以直線
的方程為
,所以點
到直線
的距離
.
即點關于直線
的對稱點在直線
上.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間,為了建立指標顯示疫情已受控制,以便向該地區(qū)居眾顯示可以過正常生活,有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”,根據(jù)連續(xù)7天的新增病倒數(shù)計算,下列各選項中,一定符合上述指標的是( )
①平均數(shù) ;
②標準差S≤2;
③平均數(shù) 且標準差S≤2;
④平均數(shù) 且極差小于或等于2;
⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于1.
A.①②
B.③④
C.③④⑤
D.④⑤
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)是奇函數(shù),并且在R上為增函數(shù),若0≤θ≤ 時,f(msinθ)+f(1﹣m)>0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(﹣∞,0)
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞, )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠家具車間造A、B型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時,漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時;又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時,而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元,試問工廠每天應生產A、B型桌子各多少張,才能獲得利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|,當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的產值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2-10x3(單位:萬元),成本函數(shù)為C(x)=460x-5 000(單位:萬元).
(1)求利潤函數(shù)P(x);(提示:利潤=產值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓:
(
)的左右焦點分別為
,
,下頂點為
,直線
的方程為
.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設為橢圓上異于其頂點的一點,
到直線
的距離為
,且三角形
的面積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線
與橢圓
相切,過焦點
,
分別作
,
,垂足分別為
,
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,
,
,
,
,
,
,且
平面
.
(1)設平面平面
,求證:
.
(2)求證: .
(3)設點為線段
上一點,且直線
與平面
所成角的正弦值為
,求
的值.
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