Question

若函數(shù)的定義域為，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列說法中一定正確的有        
（1）的圖像關(guān)于直線對稱
（2）的周期為 
（3）  
（4）在上只有一個零點(diǎn)

Answer 1

試題分析：因為，函數(shù)的定義域為，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以f(－x+1)=－f(x+1) .......(1)；f(x－1）=f(－x－1）.......(2)。
由(1) 得f(x+1)=－f(－x+1) ，故；
由(2) 得f(x－1）=f(－x－1），故的圖像關(guān)于直線對稱；（1）正確。由此可知，函數(shù)在要嗎沒零點(diǎn)，要嗎不只一個零點(diǎn)；（4）不正確。
由①令－x+1=t得：f(t)=－f(2－t)…………③；②令－x－1=t得：f(t)= f(－2－t)………④；
由③、④得f(2－t)=－ f(－2－t）由此令－2－t=m得f(4+m) =－f(m)，
所以，f(8+m) =－f(m+4)= f(m)，函數(shù)f(x)的周期為8，（2）不正確。
所以，（3）正確。
綜上知，答案為（1）（3）
點(diǎn)評：中檔題，本題比較典型，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，有一定難度，需要靈活運(yùn)用“代換的方法”，尋求所需條件、結(jié)論。