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20.設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在兩個整數x1,x2,使得f(x1),f(x2)都小于0,則a的取值范圍是( 。
A.[$\frac{5}{{3{e^2}}}$,$\frac{3}{2e}$)B.[-$\frac{3}{2e}$,$\frac{3}{2e}$)C.[$\frac{5}{{3{e^2}}}$,1)D.[$\frac{3}{2e}$,1)

分析 設g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,則存在兩個整數x1,x2,使得g(x)在直線y=ax-a的下方,由此利用導數性質能求出a的取值范圍.

解答 解:函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,
其中a<1,
設g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,
∵存在兩個整數x1,x2,
使得f(x1),f(x2)都小于0,
∴存在兩個整數x1,x2,
使得g(x)在直線y=ax-a的下方,
∵g′(x)=ex(2x+1),
∴當x<-$\frac{1}{2}$時,g′(x)<0,
∴當x=-$\frac{1}{2}$時,[g(x)]min=g(-$\frac{1}{2}$)=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$.
當x=0時,g(0)=-1,g(1)=e>0,
直線y=ax-a恒過(1,0),斜率為a,故-a>g(0)=-1,
且g(-1)=-3e-1<-a-a,解得a<$\frac{3}{2e}$.g(-2)≥-2a-a,解得a≥$\frac{5}{3{e}^{2}}$,
∴a的取值范圍是[$\frac{5}{3{e}^{2}}$,$\frac{3}{2e}$).
故選:A.

點評 本題考查導數和極值,涉及數形結合和轉化的思想,屬中檔題.

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