Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$-a．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）判斷在f（x）（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的定義域的求解方法進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則4^x-1≠0，即4^x≠1，即x≠0，
即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即f（x）+f（-x）=0，
即$\frac{1}{{{4^x}-1}}$-a+$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$-a=0．
即2a=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$+$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$+$\frac{{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$=$\frac{1-{4}^{x}}{{4}^{x}-1}$=-1，
即a=$-\frac{1}{2}$；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞減，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴${4}^{{x}_{2}}$＞${4}^{{x}_{2}}$＞1，
則${4}^{{x}_{2}}$-1＞0，${4}^{{x}_{2}}$-1＞0，${4}^{{x}_{2}}$-${4}^{{x}_{2}}$＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）（0，+∞）上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域，函數(shù)奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．