Question

已知拋物線y²=6x．
（1）求以點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程；
（2）求過(guò)焦點(diǎn)F的弦的中點(diǎn)軌跡；
（3）求拋物線被直線y=x-b所截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)所求直線與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得

y

2 1

=6x1，

y

2 2

=6x₂，兩方程相減可得

(y1+y2)(y1-y2)

x1-x2

=6，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出k_AB，利用點(diǎn)斜式即可．
（2）拋物線y²=6x的焦點(diǎn)F(

3

2

，0)．設(shè)所求直線的方程為my=x-

3

2

，與拋物線相交于兩點(diǎn)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），線段CD的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式并消去參數(shù)m即可得出．
（3）設(shè)直線y=x-b與拋物線相交于兩點(diǎn)E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），線段EF的中點(diǎn)Q（x，y）．與拋物線方程聯(lián)立，化為y²-6y-6b=0，△＞0，解得b＞-

3

2

．再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)所求直線與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

y

2 1

=6x1，

y

2 2

=6x₂，
∴

(y1+y2)(y1-y2)

x1-x2

=6，
∴2k_AB=6，
∴k_AB=3．
∴以點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程是y-1=3（x-4），化為3x-y-11=0．
（2）拋物線y²=6x的焦點(diǎn)F(

3

2

，0)．
設(shè)所求直線的方程為my=x-

3

2

，與拋物線相交于兩點(diǎn)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），線段CD的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
聯(lián)立

my=x- 3 2 y2=6x

，化為y²-6my-9=0．
△＞0．
∴y₃+y₄=6m=2y₀，∴y₀=3m．
∴x0=my0+

3

2

=

y 2 0

3

+

3

2

．
化為

y

2 0

=3(x0-

3

2

)(x0≥

3

2

)，即為過(guò)焦點(diǎn)F的弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（3）設(shè)直線y=x-b與拋物線相交于兩點(diǎn)E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），線段EF的中點(diǎn)Q（x，y）．
聯(lián)立

y=x-b y2=6x

，化為y²-6y-6b=0，△=36+24b＞0，
解得b＞-

3

2

．
y₅+y₆=6=2y，∴y=3，x=3+b(b＞-

3

2

)．
拋物線被直線y=x-b所截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為y=3，x=3+b(b＞-

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．