Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．

（Ⅰ）當a＝1時，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當m＜0時，試判斷函數(shù)g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)）是否存在零點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，對的正負判斷，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值。

（Ⅱ）轉(zhuǎn)化成在區(qū)間[，2]恒成立，再參變分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，利用基本不等式求最值即可。

（Ⅲ）將所求問題化簡轉(zhuǎn)化成方程在內(nèi)是否有解，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再由即可判斷原函數(shù)不存在零點。

（Ⅰ）當時，,

,

令得或.

當x變化時，，f(x)的變化情況如下表:

x
		+	0
f(x)		單調(diào)遞增↗	極大值	單調(diào)遞減↘

∴,

.

（Ⅱ）

∵在上是單調(diào)遞增函數(shù),

∴在上恒成立.

即：.

∵，

∴當且僅當時，成立.

∴

（Ⅲ）由題意可知，，

要判斷是否存在零點，只需判斷方程在內(nèi)是否有解，

即要判斷方程在內(nèi)是否有解.

設(shè),

,

可見，當時，在上恒成立.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.

∵,

∴在和內(nèi)均無零點。

故函數(shù)g（x）＝-無零點