Question

20．如圖，AB為半圓的直徑，C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，點(diǎn)E為$\widehat{CB}$上的一點(diǎn)．
（1）若$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，求$\frac{BE}{AF}$的值；
（2）若tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，求$\frac{EF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AC，CE，作E作ED⊥BC于D，由$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，得到CE=DE，于是△BCE是等腰三角形，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，AB為半圓的直徑，得到△ABC是等腰直角三角形，推出△ACF∽△BDE，于是得到結(jié)果；
（2）如圖2，連接AC，作E作ED⊥BC于D，由AB為半圓的直徑，得到∠C=∠AEB=90°，推出∠DEF=∠1=∠2，于是tan∠DEF=tan∠1=tan∠2，即$\frac{DF}{DE}=\frac{CF}{AC}=\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，得到DE=2DF，AC=2CF，BD=2DE，得出△ACF∽△EDF，求出結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，CE，作E作ED⊥BC于D，
∵$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，∴CE=DE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
AB為半圓的直徑，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACF∽△BDE，
∴$\frac{BE}{AF}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖2，連接AC，作E作ED⊥BC于D，
∵AB為半圓的直徑，
∴∠C=∠AEB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠DEF=∠1=∠2，
∴tan∠DEF=tan∠1=tan∠2，即$\frac{DF}{DE}=\frac{CF}{AC}=\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2DF，AC=2CF，BD=2DE，
∴BD=4DF，
∴BF=5DF，
∵∠C=∠EDF=90°，∠AFC=∠DFE，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{DF}{CF}$=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，三角函數(shù)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．