Question

8．某養(yǎng)雞場流行一種傳染病，雞的感染率為10%，現(xiàn)對10000只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞，有3種方案：①逐只化驗(yàn)；②按40只雞一組分組，并把同組的40只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問題，再分別對該組40只雞逐只化驗(yàn)；③將②中的40只一組改為4只一組再做．問：哪種方案化驗(yàn)次數(shù)的期望值較��？

Answer 1

分析 對于方案①，要化驗(yàn)10000次；對于方案②，將10000只雞分為250組，每組40只，設(shè)X為40只雞中病雞數(shù)，則X～B（40，0.1），由此能求出10000只雞的期望化驗(yàn)次數(shù)；對于方案③，將10000只雞分成2500組，每組4只，設(shè)M為4只雞中的病雞數(shù)，則M～B（4，0.1），由此能求出10000只雞的期望化驗(yàn)次數(shù)．從而能求出方案③的化驗(yàn)次數(shù)的期望值較小．

解答 解：對于方案①，要化驗(yàn)10000次，
對于方案②，將10000只雞分為250組，每組40只，
設(shè)X為40只雞中病雞數(shù)，則X～B（40，0.1），
∴40只雞中無病雞的概率為0.9⁴⁰，這時化驗(yàn)一次；
若40只雞中有病雞，其概率為1-0.9⁴⁰，則化驗(yàn)41次，
設(shè)Y為40只雞中化驗(yàn)的次數(shù)，則Y為40只雞中化驗(yàn)的次數(shù)，
則Y的概率分布為：

Y	1	41
P	0.940	1-0.940

∴E（Y）=0.9⁴⁰+41×（1-0.9⁴⁰）≈40.4088，
從而10000只雞的期望化驗(yàn)次數(shù)為40.4088×250≈10102（次），
對于方案③，將10000只雞分成2500組，
每組4只，設(shè)M為4只雞中的病雞數(shù)，則M～B（4，0.1），
則4只雞中無病雞的概率為0.9⁴，這時化驗(yàn)1次，
若4只雞中有病雞，其概率為1-0.9⁴，則化驗(yàn)5次，
設(shè)N為4只雞中化驗(yàn)的次數(shù)，則N的概率分布列為：

N	1	41
P	0.94	1-0.94

∴E（N）=0.9⁴+5×（1-0.9⁴）≈2.3756．
從而10000只雞的期望化驗(yàn)次數(shù)為：
2.375×2500≈5939（次），
∴方案③的化驗(yàn)次數(shù)的期望值較小．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．