已知定義在R上的函數(shù)f(x)=
b-2x2x+a
是奇函數(shù)
(1)求a,b的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),知f(0)=
b-1
a+1
=0
,故b=1,f(x)=
1-2x
a+2x
,f(-x)=
1-2-x
a+2-x
=
2x-1
a•2x+1
=-f(x)=
2x-1
a+2x
,由此能求出a=b=1.
(2)f(x)=
1-2x
1+2x
=
2
1+2x
-1
,f(x)在R上是減函數(shù).證明:設(shè)x1,x2∈R且x1<x2f(x1)-f(x2)=
2
1+2x1
-
2
1+2x2
=-
2(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)
,由此能夠證明f(x)在R上是減函數(shù).
(3)不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,等價(jià)于f(t-2t2)>f(k),由f(x)是R上的減函數(shù),知t-2t2<k,由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
f(0)=
b-1
a+1
=0
,
解得b=1,(1分)
f(x)=
1-2x
a+2x
,
f(-x)=
1-2-x
a+2-x
=
2x-1
a•2x+1
=-f(x)=
2x-1
a+2x

∴a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
f(x)=
1-2x
1+2x
=
2
1+2x
-1
,
f(x)在R上是減函數(shù).(4分)
證明:設(shè)x1,x2∈R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2
1+2x1
-
2
1+2x2

=-
2(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)

∵x1<x2,
2x22x11+2x1>0,1+2x2>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是減函數(shù),(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的減函數(shù),
∴t-2t2<k(10分)
k>t-2t2=-2(t-
1
4
)2+
1
8
對(duì)t∈R恒成立,
k>
1
8
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
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①f(3)的值為
0
0
,
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-1
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,則f(3)=(  )

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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