Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，CD⊥AD，CD=2AB=2AD=2，M為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：直線(xiàn)BM⊥平面PDC；
（Ⅲ）求直線(xiàn)PD與平面BDM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，推導(dǎo)出四邊形ABMN是平行四邊形，從而MB∥AN，由此能證明BM∥平面PAD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出CD⊥平面PAD，從而AN⊥CD，再求出AN⊥PD，從而AN⊥平面PDC，由此利用MB∥AN，能證明MB⊥平面PDC．
（Ⅲ）過(guò)P作PE⊥DM于E，推導(dǎo)出PE⊥平面BDM，則∠PDE為直線(xiàn)PD與平面BDM所成角，由此能求出直線(xiàn)PD與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}CD$，
又AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴MB∥AN，
∵M(jìn)B?平面PAD，AN?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，∴AN⊥CD，
∵△PAD是正三角形，PD中點(diǎn)為N，∴AN⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AN⊥平面PDC，
∵M(jìn)B∥AN，∴MB⊥平面PDC．
解：（Ⅲ）過(guò)P作PE⊥DM于E，
∵M(jìn)B⊥平面PDC，MB?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面PDC，且平面BDM∩平面PDC=DM，
∴PE⊥平面BDM，
∴DE是PD在平面BDM內(nèi)的射影，
∴∠PDE為直線(xiàn)PD與平面BDM所成角，
Rt△PDC中，DM=PM=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PE=$\frac{2{S}_{△PDM}}{DM}$=$\frac{{S}_{△PDC}}{DM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴Rt△PDE中，sin∠PDE=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線(xiàn)PD與平面BDM所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的證明，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查運(yùn)用意識(shí)，是中檔題．