Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）（Ⅲ）不存在.

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點(diǎn)，故從中位線上找線線平行. ，分別為，中點(diǎn)，在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以∥．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045712214462.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）求二面角的大小，有兩個(gè)思路，一是作出二面角的平面角，這要用到三垂線定理及其逆定理，利用側(cè)面底面，可得底面的垂線，再作DF的垂線，就可得二面角的平面角，二是利用空間向量求出大小.首先建立空間坐標(biāo)系. 取中點(diǎn)．由側(cè)面底面易得面．以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．再利用兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系，求出結(jié)果，（Ⅲ）存在性問題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系，將存在是否轉(zhuǎn)化為方程是否有解.

證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)．
因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711684526.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以與互相平分．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711762302.png" style="vertical-align:middle;" />是中點(diǎn)，
所以是中點(diǎn)．
在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045712214462.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面．                                        4分
（Ⅱ）取中點(diǎn)．在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045712948492.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711700468.png" style="vertical-align:middle;" />底面，
且面面，
所以面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045713072388.png" style="vertical-align:middle;" />平面
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711762302.png" style="vertical-align:middle;" />是中點(diǎn)，
所以．

如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711809642.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，則，，，，，，，．
于是，，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045713431391.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)平面的一個(gè)法向量是．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045713525984.png" style="vertical-align:middle;" />所以即
令則．
所以．
由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為． 10分
（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使面．設(shè)，
則． 由（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量是．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045711918435.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以．
于是，，即．
又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以與共線．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045713930751.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
所以，無解．
故在棱上不存在一點(diǎn)，使面成立．               14分