Question

14．已知把函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，再把橫坐標擴大到原來的2倍，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位，得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）從原點起與x軸的正半軸，直線x=$\frac{π}{2}$圍成的面積為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{π}{2}$
• C． 1
• D． π

Answer 1

分析 先對三角函數(shù)進行恒等變換，確定函數(shù)f（x）的解析式，進而根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）的解析式，利用定積分可求曲線圍成的面積．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x+1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)解析式為：y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin2x+$\frac{1}{2}$，
再把橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數(shù)解析式為：y=sinx+$\frac{1}{2}$，
再向下平移$\frac{1}{2}$個單位，得到函數(shù)g（x）=sinx．
∴g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=π所圍成圖形的面積為：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=-cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1．
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)圖象的變換，利用定積分求曲線的面積，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，熟練應用相關公式定理是解題的關鍵，屬于中檔題．