Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x
（1）若x=3是該函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在[1，4]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，先求得a，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，即a≤[-（2x²-8x-10）]_min，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

a

1+x

+2x-10，
∴f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16
∴f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，其定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′(x)=

16

1+x

+2x-10=

2(x2-4x+3)

1+x

=

2(x-1)•(x-3)

1+x

，
又∵f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞），
當(dāng)f'（x）＞0，即-1＜x＜1，或x＞3時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0，即1＜x＜3時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．
（2）∵f（x）在[1，4]上是單調(diào)減函數(shù)
∴f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，
∴2x²-8x+a-10≤0在[1，4]上恒成立，
∴a≤[-（2x²-8x-10）]_min，
∵在[1，4]上，10≤-（2x²-8x-10）≤18
∴a≤10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，考查學(xué)生恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．