Question

4．（1）已知$\overrightarrow a=（8，4）$，求與$\overrightarrow a$垂直的單位向量的坐標(biāo)．
（2）若$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120⁰，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出與$\overrightarrow a$垂直的單位向量$\overrightarrow e=（x，y）$，根據(jù)題意列出方程組求出x、y的值即可；
（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長即可．

解答 解：（1）設(shè)與$\overrightarrow a$垂直的單位向量為$\overrightarrow e=（x，y）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ 8x+4y=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$．
所以$\overrightarrow{e}$=（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
（2）$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120⁰，
所以${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$
=2²+2×2×1×cos120°+1²
=3，
所以$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了單位向量與模長公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．