Question

1．如圖，幾何體EF-ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）求幾何體EF-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥BC．DE⊥BC．推出CF⊥BC．即可證明BC⊥平面ACF．然后推出BC⊥AF．
（Ⅱ）利用V_{幾何體EF-ABCD}=V_{幾何體A-CDEF}+V_{幾何體F-ACB}，求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)椤鰽CB是腰長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．
因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥BC．
又DE∥CF，所以CF⊥BC．
又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．
所以BC⊥AF．
（Ⅱ）解：因?yàn)椤鰽BC是腰長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
所以$AC=BC=2\sqrt{2}，AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=4$，
所以$AD=BCsin∠ABC=2\sqrt{2}×sin45°=2，CD=AB=BCcos∠ABC=4-2\sqrt{2}×cos45°=2$．
所以DE=EF=CF=2，
由勾股定理得$AE=\sqrt{A{D^2}+D{E^2}}=2\sqrt{2}$，
因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．
又AD⊥DC，DE∩DC=D，所以AD⊥平面CDEF．
所以V_{幾何體EF-ABCD}=V_{幾何體A-CDEF}+V_{幾何體F-ACB}=$\frac{1}{3}{S_{四邊形CDEF}}•AD+\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CF$=$\frac{1}{3}CD•DE•AD+\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AC•BC•CF$=$\frac{1}{3}×2×2×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．