Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點F₁、F₂，離心率為

1

2

，過左焦點F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線l：y=kx+m與橢圓只有一個交點M，且與直線x=4交于點N，問：是否存在x軸上的某定點Q，使得以MN為直徑的圓經過Q，若存在，求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用橢圓的定義，得到4a=8，求得a=2，再由離心率公式，得到c=1，再由a，b，c的關系，求出b，進而得到橢圓方程；
（2）假設存在x軸上的某定點Q，使得以MN為直徑的圓經過Q．將直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，求出M的坐標，求出向量的坐標，利用

MQ

•

NQ

=0，即可得出結論．

解答： 解：（1）在三角形ABF₂中，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
則△ABF₂的周長為4a=8，即有a=2，
由于離心率為

1

2

，即e=

c

a

=

1

2

，則c=1，b=

a2-c2

=

3

，
則橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設存在x軸上的某定點Q，使得以MN為直徑的圓經過Q．
將直線方程y=kx+m代入橢圓方程3x²+4y²=12得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
∴x_M=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，y_M=kx_M+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即M（-

4k

m

，

3

m

）．
∵Q（t，0），又N（4，4k+m），
則

MQ

•

NQ

=（t+

4k

m

，-

3

m

）•（t-4，-4k-m）=（t+

4k

m

）（t-4）+

3

m

•（4k+m）
=t²-4t+3+

4k

m

（t-1）=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．
∴存在點Q（1，0）適合題意．

點評：本題考查橢圓的方程和定義、性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．