Question

5．當$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$時，函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}{cos^2}\frac{x}{4}-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$的最小值為（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}{cos^2}\frac{x}{4}-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$（1+cos$\frac{x}{2}$）-$\frac{\sqrt{6}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
當$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$時，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
∴函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角恒等變以及正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎(chǔ)題．