Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前3項和為3，前6項和為24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=(

1

2

)an(n∈nn)，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞k對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由等差數(shù)列{a_n}的前3項和為3，前6項和為24，利用等差數(shù)列的前n項和的公式得到兩個關(guān)于首項與公差的兩方程，聯(lián)立即可求出首項和公差，根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式即可；
（2）把（1）求出的等差數(shù)列的通項公式代入bn=(

1

2

)an中，化簡得到數(shù)列{b_n}為首項是2，公比是、為

1

4

的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項的和表示出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，由T_n+1-T_n大于0，得到T_n單調(diào)遞增，所以T_n的最小值為2，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式解集中k的最大正整數(shù)解即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由題意可知：

3a1+3d=3 6a1+15d=24

，解得：a₁=-1，d=2，
故a_n=-1+2（n-1）=2n-3；
（2）由（1）得：b_n=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-3=8•(

1

4

)n，
所以數(shù)列{b_n}是以b₁=2為首項，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，
則T_n=

2[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

8

3

[1-(

1

4

)n]，
又T_n+1-T_n=

8

3

[1-(

1

4

)n+1]-

8

3

[1-(

1

4

)n]=2•(

1

4

)n＞0，
因此T_n單調(diào)遞增，
故T_n的最小值為T₁=b₁=2，由2＞k及k∈N⁺，得k_max=1．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，掌握數(shù)列的函數(shù)特征，是一道綜合題．