Question

圓C：（x-1）²+（y+1）²=2，過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線(xiàn)l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，∠ACB=90°，則直線(xiàn)l的方程是

x=2，或

15

8

x-y-

3

4

=0

．

Answer 1

分析：由題意可得，圓心C（1，-1），半徑為

2

，且△ABC為等腰直角三角形，故圓心C到直線(xiàn)l的距離為 1．分①直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)和②直線(xiàn)的斜率存在時(shí)兩種情況，分別求得直線(xiàn)l的方程．

解答：解：由題意可得，圓心C（1，-1），半徑為

2

，且△ABC為等腰直角三角形，故圓心C到直線(xiàn)l的距離為 1．
①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，滿(mǎn)足條件．
②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為 y-3=k（x-2），即 kx-y+3-2k=0．
則

|k+1+3-2k|

k2+1

=1，解得 k=

15

8

，故直線(xiàn)l的方程為

15

8

x-y-

3

4

=0，
故答案為 x=2，或

15

8

x-y-

3

4

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，求圓的方程和直線(xiàn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．