Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）過原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，求出切線方程，即可求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），化為ax²-ax-lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，ax₀-lnx₀），∴$k=f'（{x_0}）=a-\frac{1}{x_0}$，
直線的切線方程為y-（ax₀-lnx₀）=（a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
又切線過原點(diǎn)-ax₀+lnx₀=-ax₀+1，
所以lnx₀=1，解得x₀=e，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e．（4分）
（2）因?yàn)椴坏仁絘x-lnx≥a（2x-x²）對?x∈[1，+∞）恒成立，
所以ax²-ax-lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立．
設(shè)g（x）=ax²-ax-lnx，g′（x）=2ax-a-$\frac{1}{x}$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵$g'（x）=a（2x-1）-\frac{1}{x}＜0$，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-ax-1}}{x}$．設(shè)$h（x）=2a{x^2}-ax-1=2a{（x-\frac{1}{4}）^2}-\frac{a}{8}-1$，
在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即a≥1．
（ i）當(dāng)a≥1時(shí)，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合題意；
（ ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵a-1＜0，∴?x₀∈[1，+∞）使得h（x₀）=0，
則g（x）在[1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x₀）＜g（1）=0，則0＜a＜1不合題意．
綜上所述，a≥1．（12分）

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力．