Question

設(shè)α、β為銳角，且=（sinα，-cosα），=（-cosβ，sinβ），=（，），求•和cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：由和的坐標(biāo)，表示出+，由已知列出關(guān)系式，根據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)相等得出兩個(gè)關(guān)系式，把兩關(guān)系式兩邊平方并左右兩邊相加后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin（α+β）的值，然后由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡•后，將求出的sin（α+β）的值代入即可求出•的值；由sinα-cosβ的值大于0，移項(xiàng)并利用誘導(dǎo)公式變形后，由α、β均為銳角，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出α+β的范圍，由sin（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求出cos（α+β）的值．
解答：解：∵=（sinα，-cosα），=（-cosβ，sinβ），
∴=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又=（，），
∴sinα-cosβ=，cosα-sinβ=-，
∴（sinα-cosβ）²+（cosα-sinβ）²=，
整理得：sin²α+cos²β-2sinαcosβ+cos²α+sin²β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=，
即sin（α+β）=，
∴•=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（-β），且α、β均為銳角，
∴＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-=-．
點(diǎn)評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握法則及公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．