Question

（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的橢圓的右焦點任作一條斜率為（）的直線交橢圓于A，B兩點，問在右側是否存在一點D，連AD、BD分別交直線于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恰好過，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的定義及其間的基本關系易求得“”值（不一定是定義中的），從而得到橢圓的方程，求解時注意分焦點在和上兩種情況進行討論；（Ⅱ）本題屬于解析幾何的綜合性題型，解題的關鍵在于將“形”的特征用“數”的形式定量地刻畫出來，由與點有直接關系的四點著手，通過共線關系找到彼此的內在聯(lián)系和數量關系；其次通過直徑所對圓周角是直角來構造向量垂直也是解決本題的一個關鍵所在，是對已知條件的深層次的挖掘；在些基礎上，充分運用方程思想和精確的運算及推理不難得出所求．

試題解析：（Ⅰ）當焦點在上時，

由，故所求橢圓方程為．

當焦點在上時，

由，故所求橢圓方程為．

綜上所述，所求橢圓方程為或．

（Ⅱ）如圖所示：

設直線的方程為，，則由

，根據韋達定理（根與系數的關系）得：

，，

由 …… ①

三點共線，即,且，,

,同理可得,

……②

根所題意,（直徑所對圓周角），即，

……③

由①、②、③得：，

，由，

點在的右側，，．

存在滿足條件的點，且．

考點：①橢圓的方程和性質；②直線方程；③向量共線和垂直的動用；④根下系數的關系；⑤數形結合思想；⑥方程思想；⑦推理和運算能力．