Question

已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x

+1．
（1）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）定義法通常分五步；取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論；（2）利用奇函數(shù)求解析式．

解答： 解：（1）證明；任取x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂，
則x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0
f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴①當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
則f（x）=-f（-x）=-（

-x

+1）=-

-x

-1；
綜上所述，f（x）=

- -x -1，x＜0 0，x=0 x +1，x＞0

．

點(diǎn)評(píng)：考查了定義法證明單調(diào)性的步驟：取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論；注意化簡(jiǎn)變形，相對(duì)較難；同時(shí)考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式的方法，屬于基礎(chǔ)題．