兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足．（參考公式）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
證明：∵，
∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②減去①可得 bn+1﹣bn=（n+1）an+1．
兩邊同時除以n+1可得 bn+1﹣bn=an+1 ③，
∴bn﹣bn﹣1=an  ④．
③減去④可得 an+1 ﹣an=（ bn+1 ﹣ bn ）﹣（ bn ﹣bn﹣1 ）
=bn+1 +bn+1 ﹣bn﹣bn﹣bn+ bn﹣1﹣bn﹣1
=（bn+1﹣bn ）+（bn+1﹣bn ）+ （bn﹣bn﹣1）﹣（bn﹣bn﹣1）
=（bn+1﹣bn ）+（bn+1﹣bn ）﹣（bn﹣bn﹣1）．
由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1﹣bn=bn﹣bn﹣1=常數(shù)d，
此時an+1 ﹣an=d+﹣=，是個常數(shù)．
故：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知由正數(shù)組成的兩個數(shù)列{an}，{bn}，如果an，an+1是關于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的兩根．
（1）求證：{bn}為等差數(shù)列；
（2）已知a1=2，a2=6，分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（3）求數(shù){
bn2n
}的前n項和S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}，{bn}，由下表給出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定義數(shù)列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并規(guī)定數(shù)列{an}，{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，則y的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足bn=3nan，且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn=3n-2，則數(shù)列{an}的通項公式為
an=
1
3
…(n=1)
1
3n-1
…(n≥2)
an=
1
3
…(n=1)
1
3n-1
…(n≥2)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）設bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求證：數(shù)列{(
bn
an
) 2}是等差數(shù)列；
（2）設bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果項數(shù)均為n（n≥2，n∈N+）的兩個數(shù)列{an}，{bn}滿足ak-bk=k（1，2，…，n），且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}={1，2，3，…，2n}，則稱數(shù)列{an}，{bn}是一對“n項相關數(shù)列”．
（Ⅰ）設{an}，{bn}是一對“4項相關數(shù)列”，求a1+a2+a3+a4和b1+b2+b3+b4的值，并寫出一對“4項相關數(shù)列”{an}，{bn}；
（Ⅱ）是否存在“15項相關數(shù)列”{an}，{bn}？若存在，試寫出一對{an}，{bn}；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對于確定的n，若存在“n項相關數(shù)列”，試證明符合條件的“n項相關數(shù)列”有偶數(shù)對．

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