Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立；
（2）數(shù)列{

lnn

n2

}（n∈N⁺）的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

n2

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)h（x）=f（x）-x進(jìn)行求導(dǎo)，通過判斷函數(shù)h（x）的增減性求出其最小值大于等于0即可．
（2）由（1）可得不等式e^x-1≥x成立，轉(zhuǎn)化可得

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)，表示出T_n將

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)代入即可得到答案．

解答：解：（I）設(shè)h（x）=f（x）-x=e^x-1-x
∴h'（x）=e^x-1-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，
當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，
當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取最小值h（1）=0．
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x
（II）由（I）可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式e^x-1≥x恒成立，
所以en2-1≥n2，lnen2-1≥lnn²，即n²-1≥lnn²，
1-

1

n2

≥

lnn2

n2

=

2lnn

n2

，

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)＜

1

2

(1-

1

n(n+1)

)=

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)
Tn=

ln1

12

+

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(1-1+

1

2

)+(1-

1

2

+

1

3

)+(1-

1

3

+

1

4

)+…+(1-

1

n

+

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1+

1

n+1

]=

1

2

×

n2

n+1

=

n2

2(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性問題．還考查不等式的轉(zhuǎn)化問題．