Question

某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）寫(xiě)出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（t）；
（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效．求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象我們不難得到這是一個(gè)分段函數(shù)，第一段是正比例函數(shù)的一段，第二段是指數(shù)型函數(shù)的一段，由于兩段函數(shù)均過(guò)M（1，4），故我們可將M點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，求出參數(shù)值后，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由（1）的結(jié)論我們將函數(shù)值0.25代入函數(shù)解析式，構(gòu)造不等式，可以求出每毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時(shí)間．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線段，由于過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，4），故其解析式為y=4t，0≤t≤1；
當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)的解析式為y=(

1

2

)t-a，
此時(shí)M（1，4）在曲線上，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4=(

1

2

)1-a，解得a=3
故函數(shù)的解析式為y=(

1

2

)t-3，t≥1．
所以y=f(t)=

4t (0≤t＜1) ( 1 2 )t-3 (t≥1)

．
（2）由題意，令f（t）≥0.25，即

4t≥0.25 ( 1 2 )t-3≥0.25

，
解得

t≥ 1 16 t≤5

，
∴

1

16

≤t≤5．
∴服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為5-

1

16

=4

15

16

個(gè)小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，是一種常見(jiàn)的題型，關(guān)鍵是要知道函數(shù)的類(lèi)型，利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式，然后將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出參數(shù)的值，即可得到要求函數(shù)的解析式．