Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），討論函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都滿足x1＜

1

k

＜x2（其中k是直線AB的斜率），則稱函數(shù)y=f（x）為優(yōu)美函數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）是否是優(yōu)美函數(shù)，如果是，請證明，如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=

2ax2+1

x

，注意到定義域?yàn)椋?，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等價(jià)于解含參數(shù)的一元二次不等式，討論參數(shù)的范圍即可
（2）先將函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程

lnx

x

=(x-e)2+a根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)?(x)=

lnx

x

與函數(shù)M（x）=（x-e）²+a的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分別研究這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和極值，即可討論出函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，若f（x）是優(yōu)美函數(shù)，則x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，即1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，故本題的關(guān)鍵是看上式是否成立，證明此不等式成立需利用換元法，并構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)

解答：解：f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

(x＞0)
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是(0，

- 1 2a

)，遞減區(qū)間是[

- 1 2a

，+∞)；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：

lnx

x

=(x-e)2+a
令?(x)=

lnx

x

，則?′(x)=

1-lnx

x2

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，?'（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，?'（x）＜0
所以當(dāng)x=e時(shí)，?（x）取最大值

1

e

，且當(dāng)x→0時(shí)，?(x)=

lnx

x

→-∞
當(dāng)x→+∞時(shí)，?(x)=

lnx

x

→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是當(dāng)a＜

1

e

時(shí)，H（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=

1

e

時(shí)，H（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，H（x）沒有零點(diǎn)．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx   k=

lnx2-lnx1

x2-x1

若f（x）是優(yōu)美函數(shù)，則x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，于是1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1 -1

＜

x2

x1

解得：1-

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1…、①
令t=

x2

x1

(t＞1)，則①可化為1-

1

t

＜lnt＜t-1
令F（t）=lnt-t+1，則F′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

＜0F（t）在（1，+∞）上遞減，當(dāng)t=1時(shí)取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1
令G(t)=lnt+

1

t

-1，于是G′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0
當(dāng)G（t）在（1，+∞）上遞增，當(dāng)t=1時(shí)取最小值G（1）=0、G(t)=lnt+

1

t

-1＞G(1)=0ln

x2

x1

＞1-

x1

x2

于是①成立，所以x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2
即x1＜

1

k

＜x2
所以函數(shù)f（x）為優(yōu)美函數(shù)．

點(diǎn)評：本題綜合考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的方法，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法