Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一定點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且恒有y₁+y₂為定值y₀，則y₀的值為

-

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知P點是函數(shù)圖象的對稱中心，由此求出函數(shù)的對稱中心，即可求出定值，從而得出正確選項．

解答：解：y′=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x單調(diào)遞增，f′（-1）=0
則原函數(shù)關(guān)于P對稱，f(-1)=-

1

3

，
所以定點P(-1，-

1

3

)，y1+y2=-

2

3

于是y₀=-

2

3

．
故答案為：-

2

3

．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題，P點是函數(shù)圖象的對稱中心是解題的突破口，屬于中檔題．