Question

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示：

銷售量P（件）	p=50-x
銷售單價q（元/件）	當1≤x≤20時，q=30+ 1 2 x； 當21≤x≤40時，q=20+ 525 x

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式；
（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）討論x的取值范圍，即可得到結論．
（2）根據條件建立函數關系式，即可求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式；
（3）根據分段函數的性質，即可求出函數的最值．

解答： 解：（1）當1≤x≤20時，q=30+

1

2

x=35，解得：x=10，
當21≤x≤40時，q=30+

525

x

=35，解得：x=35，
∴第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件．
（2）當1≤x≤20時，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x2+15x+500，
當21≤x≤40時，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
∴y關于x的函數關系式為y=

- 1 2 x2+15x+500，1≤x≤20 26250 x -525，21≤x≤40

．
（3）當1≤x≤20時，y=-

1

2

x2+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∴當x=15時，y有最大值為612.5，
當21≤x≤40時，y=

26250

x

-525是減函數，
∴當x=21時，y有最大值為725，
∵725＞612.5，
∴這40天中該網店第21天獲得的利潤最大，最大為725元．

點評：本題主要考查函數的應用問題，根據條件建立函數關系，利用函數單調性的性質是解決本題的關鍵．