Question

無窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項(xiàng)為10，公差為-2的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列（其中m≥3，m∈N^*），并且對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n成立．若a51=

1

64

，則m的取值集合為

 

．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)的m的取值集合為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意，a₅₁=

1

64

是等比數(shù)列中的項(xiàng)，求出項(xiàng)數(shù)n，根據(jù)a_n+2m=a_n成立知，數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m，求出m的值．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，設(shè)f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，則g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），在m=-5或6時(shí)取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，所以存在這樣的m=6使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)．

解答： 解：（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比數(shù)列通項(xiàng)公式：a_n=

1

2

•(

1

2

)n-m-1=(

1

2

)n-m，
由題意知a51=

1

64

是等比數(shù)列中的項(xiàng)，
在等比數(shù)列中，令(

1

2

)n-m=

1

64

，
解得n-m=6，n=m+6，
對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立，a51=

1

64

，
∴m+6=51，或m+6+2m=51，或m+6+4m=51，
∴m=45，15或9，
即m的取值集合為 {45，15，9}．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

]+10+8+6+4+4，
可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，
設(shè)f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，則g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），
存在m=-5或6時(shí)取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，
所以存在這樣的m=6，使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)，
因此m的取值集合為{6}．
故答案為：{45，15，9}；{6}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的概念，考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．