Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin（x+φ）（φ為常數(shù)）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），h（x）=f（x）+g（x）；如下命題：
①設(shè)f（x）與g（x）的最小正周期分別是T₁與T₂，那么T₁+T₂=3π；
②當(dāng)φ=

π

12

時(shí)，在區(qū)間(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）與g（x）都是增函數(shù)；
③當(dāng)φ=0時(shí)，h（x）的最大值是

5

2

；
④當(dāng)φ=

π

2

時(shí)，h（x）為偶函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及周期的定義函數(shù)的奇偶性和最值可知①②正確，③④錯(cuò)誤

解答： 解：∵f（x）=2sin（x+φ）（φ為常數(shù)）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），
∴T₁=2π，T₂=π，故T₁+T₂=3π；①正確，
當(dāng)φ=

π

12

時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

7π

12

，2kπ+

5π

12

]，k∈z，
函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z，
故在區(qū)間(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）與g（x）都是增函數(shù)；故②正確，
∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=2sin（x+φ）-

1

2

cos（2x+

π

6

），
當(dāng)φ=0時(shí)，h（x）=2sinx-

1

2

cos（2x+

π

6

），當(dāng)x=

π

2

時(shí)，h（

π

2

）=2+

3

4

＜

5

2

故③錯(cuò)誤
當(dāng)φ=

π

2

時(shí)，h（x）=-2cosx-

1

2

cos（2x+

π

6

）=-2cosx-

3

4

cos2x+

1

4

sin2x，h（-x）=-2cosx-

3

4

cos2x-

1

4

sin2x≠h（x），
故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題