【題目】已知函數(shù)f(x)=2x.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;

(2)用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

【答案】(1)函數(shù)f(x)=2x是奇函數(shù).

證明如下:易知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)?/span>f(-x)=2(-x)-=-2x=-=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).

(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

f(x2)-f(x1)=2x2=2(x2x1)+5=(x2x1),

因?yàn)?<x1<x2,所以x2x1>0,x1x2>0,

所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),

所以f(x)=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

【解析】

(1)由定義判斷的關(guān)系,即可判斷函數(shù)奇偶性;

(2)由定義證明單調(diào)性,假設(shè)定義域內(nèi)的兩自變量的值,作差求的符號(hào),進(jìn)而判斷單調(diào)性.

(1)函數(shù)f(x)=2x是奇函數(shù).

證明如下:易知f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)?/span>f(-x)=2(-x)-=-2x=-=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).

(2)證明:任取x1,x2(0,+∞),且x1<x2,

f(x2)-f(x1)

=2x2

=2(x2x1)+5

=(x2x1),

因?yàn)?/span>0<x1<x2,所以x2x1>0,x1x2>0,

所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),

所以f(x)=2x(0,+∞)上單調(diào)遞增.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.步、B.步、C.步、D.步、

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