【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定長為3的線段兩端點(diǎn)、分別在軸,軸上滑動(dòng),在線段上,且.

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn),從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與軌跡交于點(diǎn),,直線,的斜率分別記為,.

①求證:

②求的最大值.

【答案】(1)見證明;(2)2.5

【解析】

設(shè),,,根據(jù),可得,,再根據(jù),即可求出軌跡方程,因?yàn)橹本OP,OQ,與圓R相切,推出,是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,利用韋達(dá)定理推出結(jié)合點(diǎn)在橢圓C上,證明當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),,通過,推出,利用,,在橢圓C上,推出,即可求出的最大值.

設(shè),,

,

,

,,

,

,

證明:直線OPOQ,與圓相切,

直線OP與圓M聯(lián)立,

可得

同理,

由判別式為0,可得,是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

,

點(diǎn)在橢圓C上,所以

;

當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),,

,

,即,

在橢圓C上,

整理得,

當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有,

綜上:

,

的最大值為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足,,.

1)若,,求的取值范圍;

2)若是公比為的等比數(shù)列,,,求的取值范圍;

3)若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) (其中為常數(shù)且)在處取得極值.

(1)當(dāng)時(shí),求的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn);

(2)若上的最大值為1,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線C,點(diǎn)x軸的正半軸上,過點(diǎn)M的直線l與拋線C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

,且直線l的斜率為1,求證:以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切;

是否存在定點(diǎn)M,使得不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng),恒為定值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知不等式的解集為

(1)求的值;

(2)若不等式的解集為,不等式的解集為,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).

(1)若,求D點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)設(shè)向量,,若k+3平行,求實(shí)數(shù) 的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué),給所有同學(xué)幾何和代數(shù)各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,統(tǒng)計(jì)情況如下表:(單位:人)

幾何題

代數(shù)題

總計(jì)

男 同學(xué)

22

8

30

女同學(xué)

8

12

20

總計(jì)

30

20

50

(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?

(2)現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)他們的答題進(jìn)行研究,記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為,的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是不重合直線,是不重合平面,則下列命題

①若,則

②若,則

③若、,則

④若,則

⑤若,則

為假命題的是

A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)是奇函數(shù),是偶函數(shù),且其中.

1)求的表達(dá)式,并求函數(shù)的值域

2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)不等實(shí)根,求常數(shù)的取值范圍

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