Question

【題目】如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．

（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若 ，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC1，CB1，則△ACC1和△BCC1皆為正三角形．

取CC1的中點(diǎn)O，連接OA，OB1，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

又OA∩OB1=O，所以CC1⊥平面OAB1．

又AB1平面OAB1，所以CC1⊥AB1

（2）解：由（1）知， ，又 ，所以O(shè)A⊥OB1．

如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B1，OC1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則 ，

設(shè)平面CAB1的一個(gè)法向量為 ，

因?yàn)? ，

所以 取 ．

設(shè)平面A1AB1的一個(gè)法向量為 ，

因?yàn)? ，

所以 取 ．

則 ，

∴sin＜ ＞= = ．

所以二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是 ．

【解析】（1）連接AC1 ， CB1 ， 取CC1的中點(diǎn)O，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 從而CC1⊥平面OAB1 ． 由此能證明CC1⊥AB1 ． （2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B1 ， OC1 ， OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能正確解答此題．