【題目】已知是定義在上的偶函數(shù),對于,都有,當(dāng)時,,若在[-1,5]上有五個根,則此五個根的和是( )

A. 7 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】C

【解析】

由已知可得f(x)是周期為4的函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱,結(jié)合圖象可知,若a[f(x)]2﹣bf(x)+3=0[﹣1,5]上有五個根,則f(x)=﹣10<f(x)<1.f(x)=﹣1時,x=2;0<f(x)<1時,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得四個根的和為0+8=8,即可得到結(jié)論.

∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=﹣x2+1,

設(shè)﹣1≤x≤0時,則0≤﹣x≤1,∴f(x)=f(﹣x)=﹣(﹣x)2+1=﹣x2+1,

f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期為4的函數(shù),

∵f(x)是偶函數(shù),對任意xR,都有f(2+x)=﹣f(x),∴f(2+x)+f(﹣x)=0,

x﹣1x,可得f(1+x)+f(1﹣x)=0,

∴f(x)關(guān)于(1,0)對稱,f(x)在[﹣1,5]上的圖象如圖:

∵a[f(x)]2﹣bf(x)+3=0[﹣1,5]上有5個根xi(i=1,2,3,4,5),

結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得f(x)=﹣10<f(x)<1,

當(dāng)f(x)=﹣1時,x=2;0<f(x)<1時,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得四個根的和為0+8=8.

∴x1+x2+x3+x4+x5的值為10.

故選:C.

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