如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E為BC的中點(diǎn),AA1⊥平面ABCD.
(1)證明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(2)若DE=A1E,試求異面直線AE與A1D所成角的余弦值.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,得△ABE是正三角形,∠AEB=60°,等腰△CDE中∠CED=(180°-∠ECD)=30°,所以∠AED=90°,得到DE⊥AE,結(jié)合DE⊥AA1,得DE⊥平面A1AE,從而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE.
(2)取BB1的中點(diǎn)F,連接EF、AF,連接B1C.證出EF∥A1D,可得∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線AE與A1D所成的角.利用勾股定理和三角形中位線定理,算出△AEF各邊的長(zhǎng),再用余弦定理可算出異面直線AE與A1D所成角的余弦值.
解答:解:(1)依題意,BE=EC=BC=AB=CD…(1分),
∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°…(2分),
又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°-∠ECD)=30°…(3分)
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°,即DE⊥AE…(4分),
∵AA1⊥平面ABCD,DE⊆平面ABCD,∴DE⊥AA1.…(5分),
∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE…(6分),
∵DE⊆平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.…(7分).
(2)取BB1的中點(diǎn)F,連接EF、AF,連接B1C,…(8分)
∵△BB1C中,EF是中位線,∴EF∥B1C
∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,可得B1C∥A1D
∴EF∥A1D…(9分),
可得∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線AE與A1D所成的角…(10分).
∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1
∴A1A=,由此可得BF=,AF=EF==…(12分),
∴cos∠AEF==,即異面直線AE與A1D所成角的余弦值為…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題在直平行六面體中,求證面面垂直并求異面直線所成角余弦,著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱AA1=2.
(Ⅰ)求證:C1D∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D-A1C1-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,則側(cè)棱AA1和截面B1D1DB的距離是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱A1A=2,
(Ⅰ)證明:AC⊥A1B;
(Ⅱ)若棱AA1上存在一點(diǎn)P,使得
AP
PA1
,當(dāng)二面角A-B1C1-P的大小為300時(shí),求實(shí)數(shù)λ的值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泉州模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)從下列①②③三個(gè)條件中選擇一個(gè)做為AC⊥BD1的充分條件,并給予證明;
①AB⊥BC,②AC⊥BD;③ABCD是平行四邊形.
(Ⅱ)設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都為1,且∠BAD為銳角,求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
2
6
,求線段AM的長(zhǎng).
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