如圖,在幾何體ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)。
(1)證明:DF∥平面ABC;
(2)求AB與平BDF所成角的大小。
解:(1)取AB的中點(diǎn)G,連CG,GF,如圖a所示。
則GF∥BE,且,
∴GF∥CD,且GF=CD。
∴四邊形FGCD是平行四邊形。
∴GF∥CG,又平面ABC,平面ABC,
∴DF∥平面ABC。
(2)解法一:設(shè)A到平面BDF的距離為,
由得
在中,,
∴,又,且,
∴
又設(shè)AB與平面BDF所成的角為,則,
故AB與平面BDF所成的角為。
解法二:以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA、BC、BE所在的直線分別為、、軸,
建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)
系,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),
E(0,0,2),F(xiàn)(1,0,1).
設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為,
∵
∴
即,解得
∴。
又設(shè)AB與平面BDF所成的角為,則法線與所成的角為,
∴,即
故AB與平面BDF所成的角為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(08年新建二中模擬)如圖,在幾何體ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC = 90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE = AB = 2,CD = 1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求AB與平面BDF所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東省濰坊市高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在幾何體中,點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A,B,C,且,E為中點(diǎn),.
(1)求證;CE∥平面,
(2)求證:平面平面
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