Question

拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4
（I）求p的值；
（Ⅱ）過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)．若|AB|=8，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析：（I）先利用拋物線(xiàn)的方程求得準(zhǔn)線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為3利用拋物線(xiàn)的定義推斷出點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離也為3，利用3+

p

2

=4求得p．
（II）由（1）得拋物線(xiàn)的方程．設(shè)AB的傾斜角為θ，則

4

sin2θ

=8，所以k=tanθ=±1，直線(xiàn)l的方程是x±y-1=0．

解答：解：（I）根據(jù)拋物線(xiàn)方程可知準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-

p

2

，
∵橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為3，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知其到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3
∴2+

p

2

=3，p=2
故p為：2
（II）拋物線(xiàn)y²=4x，
∵過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，AB=8，
設(shè)AB的傾斜角為θ，
則

4

sin2θ

=8，
∴sinθ=

2

2

，
∴k=tanθ=±1，
∴直線(xiàn)AB的方程是x±y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，常用拋物線(xiàn)的定義來(lái)解決．