Question

如圖，某園林公司計劃在一塊半徑為定值R（單位：優(yōu)）的半圓形土地上種植花木、草皮，其中弓形CMD區(qū)域用于種植花草樣品供人觀賞，△OCD（O為圓心）區(qū)域用于種植花木出售，扇形O

AC

和O

BD

區(qū)域用于種植草皮出售．已知在一個種植周期內，種植花木的利潤是48元/m²，種植草皮的利A潤是18元/m²，樣品觀賞地的維護費用是12元/m²．
（Ⅰ）若∠COD=

π

6

，求樣品觀賞地的維護費用；
（Ⅱ）園林公司應如何設計∠COD的大小，才能在這塊土地上獲取最大收益？

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,基本不等式,弧度制的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）分別求出則△OCD的面積，扇形

OCMD

的面積，得到弓形CMD的面積，然后求出維護的費用．
（Ⅱ）設∠COD=θ（單位：弧度），利用扇形面積減去三角形的面積，即可求出弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
再設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，求出y的表達式，利用導數(shù)確定函數(shù)的最大值，得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）∵∠COD=

π

6

，CO=DO=R，則△OCD的面積為

1

2

R2sin

π

6

=

R2

4

，扇形

OCMD

的面積為

1

2

•

π

6

R2=

πR2

12

，
∴弓形CMD的面積為

πR2

12

-

R2

4

=

π-3

12

R2，
∴樣品觀賞地的維護費用為

π-3

12

R2×12=(π-3)R2．
（Ⅱ）．設∠COD=θ，單位：弧度，S扇形=

1

2

Rθ，S△OCD=

1

2

R2sinθ，S弓形=f(θ)=

1

2

R2(θ-sinθ)
設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，
∴y=y₁+y₂-y₃=18×(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+48×

1

2

R2sinθ-12×

1

2

R2(θ-sinθ)=3R²[3π-（5θ-10sinθ）]，
設g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π）
∴g′（θ）=5-10cosθ，
當g′（θ）＜0，cosθ＞

1

2

，g（θ）在（θ，

π

3

）上為減函數(shù)；
當g′（θ）＞0，cosθ＜

1

2

，g（θ）在（

π

3

，π）上為增函數(shù)．
當θ=

π

3

時，g（θ）取到最小值，此時總利潤最大．
所以當園林公司把扇形的圓心角設計成

π

3

時，總利潤最大

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的應用題中的應用，三角函數(shù)的化簡求值，導數(shù)的應用，考查計算能力，轉化思想的應用