【題目】已知在三棱錐中,
底面
,
,
,
是
的中點(diǎn),
是線段
上的一點(diǎn),且
,連接
.
(l)求證:平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正切值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)求出AE=4.由勾股定理得BE=2.推導(dǎo)出AC是Rt△ABE的斜邊BE上的中線,從而C是BE的中點(diǎn).進(jìn)而直線CD是Rt△ABE的中位線,CD∥AB.由此能證明CD∥平面PAB;
(2)以為原點(diǎn),直線
分別為
軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出直線
的方向向量與平面
的法向量,帶入公式即可.
詳解:(1)證明:因為,所以
.
又,
,
所以在中,由勾股定理,得
.
因為,
所以是
的斜邊
上的中線.
所以是
的中點(diǎn).
又因為是
的中點(diǎn),
所以直線是
的中位線,所以
.
又因為平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)解:以為原點(diǎn),直線
分別為
軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
因為,且
分別是
的中點(diǎn),
所以,
.所以點(diǎn)
,
,
,
,
.
所以,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,則
由得
得
所以令,得平面
的一個法向量為
;
設(shè)直線與平面
所成角的大小為
,則
.
又,所以根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,得
.
所以.
故直線與平面
所成角的正切值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.
(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校舉辦的集體活動中,設(shè)計了如下有獎闖關(guān)游戲:參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān),若闖關(guān)成功,分別獲得1分、2分、3分的獎勵,游戲還規(guī)定,當(dāng)選手闖過一關(guān)后,可以選擇得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù),結(jié)束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān),若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功,則全部分?jǐn)?shù)都?xì)w零,游戲結(jié)束。設(shè)選手甲第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為,
,
,選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為
,且各關(guān)之間闖關(guān)成功互不影響
(I)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得分?jǐn)?shù)為零的概率
(II)設(shè)該學(xué)生所得總分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面五邊形是軸對稱圖形(如圖1),BC為對稱軸,AD⊥CD,AD=AB=1,
,將此五邊形沿BC折疊,使平面ABCD⊥平面BCEF,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.
(1)證明:AF∥平面DEC;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)
.
Ⅰ
若函數(shù)
在
和
上單調(diào)性相反,求
的解析式;
Ⅱ
若
,不等式
在
上恒成立,求a的取值范圍;
Ⅲ
已知
,若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點(diǎn),試確定實數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南航集團(tuán)與波音公司2018年2月在廣州簽署協(xié)議,雙方合作的客改貨項目落戶廣州空港經(jīng)濟(jì)區(qū).根據(jù)協(xié)議,雙方將在維修技術(shù)轉(zhuǎn)讓、支持項目、管理培訓(xùn)等方面開展戰(zhàn)略合作.現(xiàn)組織者對招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后,組織一次知識競賽,將所得成績制成如下頻率分布直方圖(假定每個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績均勻分布),組織者計劃對成績前20名的參賽者進(jìn)行獎勵.
(1)試求受獎勵的分?jǐn)?shù)線;
(2)從受獎勵的20人中利用分層抽樣抽取5人,再從抽取的5人中抽取2人在主會場服務(wù),試求2人成績都在90分以上(含90分)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 滿足:f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a,b的值,并探究是否存在常數(shù)c,使得對函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的任意x,都有f(x)+f(c﹣x)=4成立;
(2)當(dāng)x∈[1,2]時,不等式f(x)≤ 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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