Question

已知函數(shù)．
（1）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x），求出f′（x）=--2ax+1=-．再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）是單調(diào)函數(shù)，能求出a的取值范圍．
（2）由（1）知，當且僅當a∈（0，）時，f（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，且x₁+x₂=，x₁x₂=．求得f（x₁）+f（x₂）=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1=ln（2a）++1．令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，由此能夠證明f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=--2ax+1=-．…（2分）
令△=1-8a．
當a≥時，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．…（4分）
當0＜a＜時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，
則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
這時f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
綜上，a的取值范圍是[，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當a∈（0，）時，f（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，
且x₁+x₂=，x₁x₂=．
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-a+x₁-lnx₂-a+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1=ln（2a）++1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
則當a∈（0，）時，g′（a）=-=＜0，g（a）在（0，）單調(diào)遞減，
所以g（a）＞g（）=3-2ln2，即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．…（12分）
點評：本題考查實數(shù)取值范圍的求法，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．