Question

已知正項(xiàng)數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，求證：；

（3）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)任意滿足成等差數(shù)列的三個(gè)不等正整數(shù) ，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法、恒成立問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達(dá)式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項(xiàng)公式；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法證明不等式的右側(cè)，而，利用放縮法，得，從而證明了不等式的左邊，即得證；第三問，利用等差中項(xiàng)的概念得到m，n，k的關(guān)系，先將不等式都成立轉(zhuǎn)化為，則關(guān)鍵是求出的最小值，利用基本不等式求函數(shù)最值.

（1）法一：由得

當(dāng)時(shí)，，且，故 １分

當(dāng)時(shí)，，故，得，

∵正項(xiàng)數(shù)列，

∴

∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. ４分

∴ ，

∴ . 5分

法二：

當(dāng)時(shí)，，且，故 1分

由得，

當(dāng)時(shí)，

∴ ，整理得

∵正項(xiàng)數(shù)列，，

∴ ， 4分

∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

∴ . 5分

（2）

∴

∴

∴兩式相減得

8分

∵ ，∴

∵ ∴

∴ 10分

（3）∵ 不等正整數(shù)是等差數(shù)列，

∴ ，

∴ ， 11分

又，

∴

故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法、恒成立問題、基本不等式.