Question

7．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高二（1）班n名學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，得到如圖所的頻率分布直方圖，已知視力在4.0～4.4范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為24人，視力在5.0～5.2范圍內(nèi)為正常視力，視力在3.8～4.0范圍內(nèi)為嚴(yán)重近視．
（1）求a，n的值；
（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)班級(jí)名次在前10名和后10名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系？
（3）若先按照分層抽樣在正常視力和嚴(yán)重近視的學(xué)生中抽取6人進(jìn)一步調(diào)查他們用眼習(xí)慣，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行保護(hù)視力重要性的宣傳，求視力正常人數(shù)ξ的分布列和期望．

是否近視/年級(jí)名次	前10名	后10名
近視	9	7
不近視	1	3

附：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由頻率和為1列方程求出a的值，根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的概型求出n的值；
（2）由列聯(lián)表計(jì)算K²，對(duì)照臨界值表得出正確的結(jié)論；
（3）由題意知ξ的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出ξ的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由頻率和為1，得
（a+2a+2a+3a+4a+4a+4a）×0.2=1，
解得a=0.25，
由已知（4a+4a）×0.2=$\frac{24}{n}$，
解得n=60；
（2）由列聯(lián)表計(jì)算K²=$\frac{20{×（9×3-1×7）}^{2}}{10×10×16×4}$=$\frac{5}{4}$=1.25＜2.706，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下，不能認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系；
（3）正常視力為6人，嚴(yán)重近視為3人，依題意抽取的6人中，正常視力4人，嚴(yán)重近視2人，
從6人中任取2人，視力正常人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$；
∴ξ的分布列為，

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{1}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，是中檔題．