Question

3．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx-\sqrt{3}sinωxcosωx+\frac{1}{2}（ω＞0）$，y=f（x）的圖象與直線y=2相交，且兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知函數(shù)$g（x）=mcos（x+\frac{π}{3}）-m+2$，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx-\sqrt{3}sinωxcosωx+\frac{1}{2}$為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用已知周期求出ω，即可求出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)圖象的單調(diào)性列出不等式$0≥-\frac{1}{2}m+2$或0≥-2m+2，由此求得m的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）={sin^2}ωx-\sqrt{3}sinωxcosωx+\frac{1}{2}$，
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωxcosωx+$\frac{1}{2}$
=1-sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
與直線y=2的圖象的兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π．
則T=π．所以ω=1
∴$f（x）=1-sin（2x+\frac{π}{6}）…（4分）$
單調(diào)增區(qū)間$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$；
（2）由x₁∈[0，π]，得f（x₁）∈[0，2]，x₂∈[0，π]，
當(dāng)m≥0時(shí)，$g（{x_2}）∈[-2m+2，-\frac{1}{2}m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需$0≥-\frac{1}{2}m+2$，解得m≥4．
當(dāng)m＜0時(shí)，$g（{x_2}）∈[-\frac{1}{2}m+2，-2m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需0≥-2m+2，矛盾．
綜上m的取值范圍是m≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的周期的求法，最大值的求法，考查計(jì)算能力，為�？碱}型．