2．已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，求證：a+2b+3c≥9．

分析 根據(jù)a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）展開，利用基本不等式證明它大于或等于9．

解答 證明：由a，b，c∈R，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
=1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{2b}$+1+$\frac{3c}{2b}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{2b}{3c}$+1
=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{3c}{2b}$+$\frac{2b}{3c}$≥3+6=9，當且僅當 $\frac{2b}{a}$=$\frac{a}{2b}$=$\frac{3c}{a}$=$\frac{a}{3c}$=$\frac{3c}{2b}$=$\frac{2b}{3c}$=1時，等號成立．
所以a+2b+3c≥9．
不等式成立．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)的值域，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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