已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，3an為方程x2+2x-12Sn=0的一根（N∈n）．
（1）求數(shù)列{an}通項公式an；
（2）求證：當(dāng)N≥2時，數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+…+數(shù)學(xué)公式＜數(shù)學(xué)公式．

解：（1）∵原方程x2+2x-12Sn=0有一根為3an
∴9即4…①…（1分）
令n=1，
∴或a1=0
∵an＞0
∴（2分）
當(dāng)n≥2時， …②
①-②得：4+2an-2an-1
即（an+an-1）（an-an-1）=0
∵an＞0
∴an-an-1=0…（5分）
∴= 滿足
∴…（6分）
（2）記Cn═
則Cn+1-Cn=
=[]＜0
∴Cn＞Cn+1…（9分）
∴Cn＜Cn-1＜Cn-2＜…＜C2
即Cn≤C2==…（11分）
∴++…+=[]
=Cn×==…（12分）
分析：（1）由已知可得，9即4，從而可求a1，利用an=Sn-Sn-1可得an-an-1=0，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求
（2）記Cn═，利用單調(diào)性的定義可判斷Cn＞Cn+1即Cn＜Cn-1＜Cn-2＜…＜C2，從而可得Cn≤C2，代入可證
點評：本題綜合考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項求解中的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項公式的求解及數(shù)列的單調(diào)性等知識的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案