Question

設(shè)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，3）是增函數(shù)，則k的取值范圍是（　�。�

A．k＜0

B．0＜k≤1

C．k≥1

D．k≤1

Answer 1

f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，3）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立
當(dāng)k=0時(shí)，f'（x）=-6＜0，顯然不成立；
當(dāng)k＞0時(shí)，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向上，始終過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=-

6(k-1)

2×3k

=

1-k

k

，
只有當(dāng)

1-k

k

≤0，才滿足3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立，解得k≥1；
當(dāng)k＜0時(shí)，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向下，始終過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=-

6(k-1)

2×3k

=

1-k

k

，
只有當(dāng)

1-k

k

≥0，且f'（3）≥0，時(shí)才滿足，解得此時(shí)k≥

2

5

，顯然與k＜0矛盾，故應(yīng)舍去．
綜上，可知k≥1
故選C．